2014内蒙古公务员考试数量关系--质数与合数

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　　自然数是同学们最熟悉的数.全体自然数可以按照约数的个数进行分类.

　　像2、3、5这样仅有1和它本身两个约数的自然数，称为质数(或素数).

　　像4、6、8这样除了1和它本身以外，还有其它约数的自然数，称为合数.

　　1只有一个约数，就是它本身.1既不是质数也不是合数、称为单位1.

　　因此，全体自然数分成了三类：数1;全体质数;全体合数.

　　任何一个合数都可以分解成若干个质因数乘积的形式，并且分法是唯一的，这个结论被称为算术基本定理.

　　问题1 24有多少个约数?这些约数的和是多少?

　　分析 24=23×3.

　　23的约数：1，2，22，23共4个.

　　3的约数：l，3共2个.

　　根据乘法原理，24的约数个数为：

　　(3+1)×(1+1)=4×2=8.

　　这8个约数为：l、2、4、8、3、6、12、24.它们的和为：

　　1+2+4+8+3+6+12+24

　　=(1+2+4+8)+3×(1+2+4+8)

　　=(1+2+4+8)×(1+3)

　　=(1+2+22+23)×(1+3)

　　=15×4=60.

　　解 24=23×3.

　　(3+1)×(1+1)=8.

　　(1+2+22+23)×(1+3)=15×4=60.

　　答：24有8个约数，这些约数的和是60.

　　问题2 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是多少?

　　分析 8=2×4=2×2×2.因此，约数个数是8的自然数，有三种类型：P71、P1×P32、P1×P2×P3，其中P1、P2、P3是不同的质数.

　　解 8=2×4=2×2×2.

　　∵27=128，3×23=24， 2×3×5=30.

　　∴有8个约数的最小自然数为24.

　　问题3 分别判断103、437是质数还是合数.

　　分析 对于一个不很大的自然数N(N>1，N为非完全平方数).可用下面方法去判断它是质数还是合数：

　　先找出一个大于N的最小的完全平方数K2，再写出K以内的所有质数;若这些质数都不能整除N，则N是质数;若这些质数中有一个质数能整除N，则N为合数.(请同学们想想这其中的道理)

　　解 103<112.而11以内的质数2、3、5、7都不能整除103，故103是质数.

　　437<212.而21以内的质数有：

　　2、3、5、7、11、13、17、19.

　　∵437÷19=23， ∴437是合数.

　　问题4 将下面八个数分成两组，使这两组数各自的乘积相等.

　　14，33，35，30，75，39，143，169.

　　分析 把八个数分成两组后，应使每组数的乘积所含的质因数一样.

　　解 把已知的八个数分解质因数：

　　14=2×7，33=3×11.

　　35=5×7，30=2×3×5.

　　75=3×52，39=3×13，

　　143=11×13，169=132.

　　∵14×75=35×30=2×3×52×7，

　　39×143=33×169=3×11×132，

　　∴分成的两组为：

　　{169，33，35，30｝与{39，143，75，14｝

　　或{169，33，75，14｝与{39，143，35，30｝.

　　问题5 一个数是5个2、3个3、2个5、1个7

　　的连乘积，这个数的两位数的约数中，最大的是几?

　　分析 设这个数为N，则 N=25×33×52×7.两位数中的最大数为99，其它数依次为98，97，….那么可以从两位数中最大的数开始找.

　　解 N=25×33×52×7.

　　99=32×11，不是N的约数.

　　98=2×72，不是N的约数.

　　97是质数，不是N的约数.

　　96=25×3，是N的约数.

　　所以，所求最大的两位数的约数是96.

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（编辑：焦阳）